Cho góc α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = 3. Tính giá trị của biểu thức

Bài 3.4 trang 37 Toán 10 Tập 1: Cho góc α (0^o < α < 180^o) thỏa mãn tan α = 3.

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }$.

Trả lời

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (α ≠ 90^o)

$\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+3^2=10$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\iff \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Vì 0^o < α < 180^o nên sin α > 0.

Mà tan α = 3 > 0 $\Rightarrow$ cos α > 0 $\Rightarrow$ $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Lại có: sin α = cos α . tan α = $3.\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Do đó $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }=\frac{2.\frac{3\sqrt{10}}{10}-3.\frac{\sqrt{10}}{10}}{3.\frac{3\sqrt{10}}{10}+2.\frac{\sqrt{10}}{10}}$

$=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}(2.3-3)}{\frac{\sqrt{10}}{10}(3.3+2)}=\frac{3}{11}$.

Vậy với α (0^o < α < 180^o) thỏa mãn tan α = 3 thì $P=\frac{3}{11}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu