Cho tam giác ABC, biết A(1; 3); B(– 1; – 1); C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của: a) Ba đường thẳng AB, BC, AC

Bài 5 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3); B(– 1; – 1); C(5; – 3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng AB, BC, AC.

b) Đường trung trực cạnh AB.

c) Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Trả lời

a) * Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4\right)$.

Do đó đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{u_{AB}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\left(-2;–4\right)=\left(1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;-1\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 2(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

* Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)$.

Do đó đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{u_{BC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(6;–2\right)=\left(3;-1\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng BC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là 1(x + 1) + 3(y + 1) = 0 hay x + 3y + 4 = 0.

* Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(4;-6\right)$.

Do đó đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{u_{AC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left(4;–6\right)=\left(2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Suy ra đường thẳng AC có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AC}}=\left(3;2\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AC là 3(x – 1) + 2(y – 3) = 0 hay 2x + 2y – 9 = 0.

b) Gọi N là trung điểm của AB, áp dụng công thức tọa độ trung điểm, suy ra tọa độ của điểm N là $x_N=\frac{1+\left(-1\right)}{2}=0;y_N=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1$ hay N(0; 1).

Đường trung trực cạnh AB vuông góc với AB nên nhận $\overrightarrow{u_{AB}}=\left(1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó đường trung trực cạnh AB đi qua điểm N(0; 1) và có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right).$

Vậy phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AB là 1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 hay x + 2y – 2 = 0.

c) * Đường cao AH của tam giác ABC vuông góc với cạnh BC.

Do đó đường cao AH đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{u_{BC}}=\left(3;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là 3(x – 1) – 1(y – 3) = 0 hay 3x – y = 0.

* AM là trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra tọa độ của điểm M là $x_M=\frac{\left(-1\right)+5}{2}=2;y_M=\frac{\left(-1\right)+\left(-3\right)}{2}=-2$ hay M(2; – 2).

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(1;-5\right)$.

Đường trung tuyến AM có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM}=\left(1;-5\right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$.

Đường trung tuyến AM đi qua A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{n_{AM}}=\left(5;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là 5(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 5x + y – 8 = 0.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic