Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0. a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d

Bài 4 trang 80 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc tọa độ.

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Trả lời

a) Đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x – 2y – 5 = 0.

Suy ra d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$.

Do đó d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Với y = 0 thay vào phương trình tổng quát của d ta được: x – 2 . 0 – 5 = 0 ⇔ x = 5.

Suy ra điểm A(5; 0) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=t\end{array}\right.$ (t là tham số).

b) Vì điểm M thuộc đường thẳng d nên ta gọi tọa độ điểm M(5 + 2t; t).

Với O là gốc tọa độ, ta có: $\overrightarrow{OM}=\left(5+2t;t\right)$, suy ra $OM=\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{{\left(5+2t\right)}^2+t^2}$.

Theo bài ra ta có OM = 5.

Do đó: $\sqrt{{\left(5+2t\right)}^2+t^2}=5$

⇒ (5 + 2t)² + t² = 25 (bình phương cả hai vế)

⇔ 25 + 20t + 4t² + t² = 25

⇔ 5t² + 20t = 0

⇔ t² + 4t = 0

⇔ t(t + 4) = 0

⇔ t = 0 hoặc t = – 4.

+ Với t = 0 thì tọa độ M(5; 0).

+ Với t = – 4 thì tọa độ M(– 3; – 4).

Vậy M(5; 0) hoặc M(– 3; – 4) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Vì điểm N thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ điểm N(5 + 2t; t).

Gọi hình chiếu của N lên trục hoành Ox là E.

E thuộc trục hoành nên E có tung độ bằng 0 và E là hình chiếu của N lên Ox nên hoành độ của điểm E bằng hoành độ của điểm N.

Suy ra tọa độ của điểm E là E(5 + 2t; 0).

Khoảng cách từ N đến trục hoành Ox chính bằng đoạn thẳng NE.

Do đó NE = 3.

Ta có: $\overrightarrow{NE}=\left(0;-t\right)$

Suy ra $NE=\left|\overrightarrow{NE}\right|=\sqrt{0^2+{\left(-t\right)}^2}=\sqrt{t^2}=\left|t\right|$.

Do đó: |t| = 3, suy ra t = 3 hoặc t = – 3.

+ Với t = 3 thì N(11; 3).

+ Với t = – 3 thì N(– 1; – 3).

Vậy N(11; 3) hoặc N(– 1; – 3) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic