Giải Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
Mở đầu
Lời giải:
Theo Bài 16, diện tích mảnh đất được rào chắn là S(x) = – 2x2+ 20x (m2).
Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m2 nghĩa là S(x) phải lớn hơn hoặc bằng 48.
Khi đó: – 2x2 + 20x ≥ 48 ⇔ 2x2 – 20x + 48 ≤ 0 (1).
Ta cần giải bất phương trình (1).
Sau bài học này ta sẽ giải được bất phương trình (1) như sau:
Tam thức bậc hai f(x) = 2x2 – 20x + 48 có hai nghiệm x1 = 4; x2 = 6 và hệ số a = 2 > 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn [4; 6]. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 4 m và nhỏ hơn hoặc bằng 6 m thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn 48 m2.
1. Dấu của tam thức bậc hai
HĐ1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Hãy chỉ ra một vài đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:
A = 0,5x2;
B = 1 – x2;
C = x2 + x + 1;
D = (1 – x)(2x + 1).
Lời giải:
Ta có: A = 0,5x2 = 0,5x2 + 0x + 0;
B = 1 – x2 = – x2 + 0x + 1;
C = x2 + x + 1;
D = (1 – x)(2x + 1) = 2x + 1 – 2x2 – x = – 2x2 + x + 1.
Các biểu thức trên đều có dạng ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.
Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.
A = 3x + 2 + 1;
B = – 5x4 + 3x2 + 4;
C = ;
D = .
Lời giải:
Trong các biểu thức A, B, C, D trên, chỉ có biểu thức C = là tam thức bậc hai vì nó có dạng ax2 + bx + c, trong đó a = , b = 7, c = – 4 là các số thực và a ≠ 0.
HĐ2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho hàm số bậc hai y = f(x) = x2 – 4x + 3.
a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng (– ∞; 1), (1; 3), (3; +∞), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?
c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Lời giải:
a) Hàm số bậc hai y = f(x) = x2 – 4x + 3.
Hệ số a = 1 > 0.
Ta có: f(0) = 02 – 4 . 0 + 3 = 3 > 0, f(0) cùng dấu với hệ số a.
f(1) = 12 – 4 . 1 + 3 = 0, f(1) không mang dấu.
f(2) = 22 – 4 . 2 + 3 = – 1 < 0, f(2) trái dấu với hệ số a.
f(3) = 32 – 4 . 3 + 3 = 0, f(3) không mang dấu.
f(4) = 42 – 4 . 4 + 3 = 3 > 0, f(4) cùng dấu với hệ số a.
b) Quan sát đồ thị H.6.17, ta thấy:
+ Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; +∞), đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.
+ Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox.
c) Khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn trên trục Ox thì f(x) > 0, ngược lại khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox thì f(x) < 0.
Hệ số a = 1 > 0.
Vậy trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; +∞), f(x) cùng dấu với hệ số a; trên khoảng (1; 3), f(x) trái dấu với hệ số a.
HĐ3 trang 20 Toán 10 Tập 2: Cho đồ thị hàm số y = g(x) = – 2x2 + x + 3 như Hình 6.18.
a) Xét trên từng khoảng (– ∞; – 1), , , đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?
b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Lời giải:
a) Quan sát đồ thị ta thấy:
+ Trên các khoảng (– ∞; – 1) và , đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox.
+ Trên khoảng , đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.
b) Khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn trên trục Ox thì g(x) > 0, ngược lại khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox thì g(x) < 0.
Hệ số a = – 2 < 0, do đó ta có:
+ Trên các khoảng (– ∞; – 1) và , g(x) cùng dấu với hệ số a.
+ Trên khoảng , g(x) trái dấu với hệ số a.
HĐ4 trang 20 Toán 10 Tập 2: Nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp.
• Trường hợp a > 0
∆ |
∆ < 0 |
∆ = 0 |
∆ > 0 |
Dạng đồ thị |
|
|
|
Vị trí của đồ thị so với trục Ox |
Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục Ox. |
Đồ thị nằm phía trên trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ . |
- Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi x < x1 hoặc x > x2. - Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi x1 < x < x2. |
• Trường hợp a < 0
∆ |
∆ < 0 |
∆ = 0 |
∆ > 0 |
Dạng đồ thị |
|
|
|
Vị trí của đồ thị so với trục Ox |
? |
? |
? |
Lời giải:
Ta điền vào bảng như sau:
• Trường hợp a < 0
∆ |
∆ < 0 |
∆ = 0 |
∆ > 0 |
Dạng đồ thị |
|
|
|
Vị trí của đồ thị so với trục Ox |
Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox. |
Đồ thị nằm phía dưới trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ . |
- Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi x < x1 hoặc x > x2. - Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi x1 < x < x2. |
Luyện tập 2 trang 22 Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) – 3x2 + x ;
b) x2 + 8x + 16;
c) – 2x2 + 7x – 3.
Lời giải:
a) f(x) = – 3x2 + x có ∆ = 12 – 4 . (– 3) .() = < 0 và hệ số a = – 3 < 0 nên f(x) < 0 với mọi .
b) f(x) = x2 + 8x + 16 có ∆' = 42 – 1 . 16 = 0 và hệ số a = 1 > 0 nên f(x) có nghiệm kép x = – 4 và f(x) > 0 với mọi x ≠ – 4.
c) f(x) = – 2x2 + 7x – 3 có ∆ = 72 – 4 . (– 2) . (– 3) = 25 > 0, hệ số a = – 2 < 0 và có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 3.
Do đó ta có bảng xét dấu f(x):
Suy ra f(x) > 0 với mọi x và f(x) < 0 với mọi x ∈ ∪ (3; + ∞).
2. Bất phương trình bậc hai
Lời giải:
Diện tích mảnh đất được rào chắn là S(x) = – 2x2+ 20x (m2).
Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m2 nghĩa là S(x) phải lớn hơn hoặc bằng 48.
Khi đó: – 2x2 + 20x ≥ 48.
Luyện tập 3 trang 23 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) – 5x2 + x – 1 ≤ 0;
b) x2 – 8x + 16 ≤ 0;
c) x2 – x – 6 > 0.
Lời giải:
a) Tam thức f(x) = – 5x2 + x – 1 có ∆ = 12 – 4 . (– 5) . (– 1) = – 19 < 0, hệ số a = – 5 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a), tức là – 5x2 + x – 1 < 0 với mọi .
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là .
b) Tam thức f(x) = x2 – 8x + 16 có ∆' = (– 4)2 – 1 . 16 = 0, hệ số a = 1 > 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 4 và f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x ≠ 4, tức là x2 – 8x + 16 > 0 với mọi x ≠ 4.
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.
c) Tam thức f(x) = x2 – x – 6 có ∆ = (– 1)2 – 4 . 1 . (– 6) = 25 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x1 = – 2 và x2 = 3.
Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 2) ∪ (3; + ∞).
Lời giải:
Bóng đạt ở độ cao trên 5 m so với mặt đất, nghĩa là h(t) > 5.
Khi đó: – 4,9t2 + 20t + 1 > 5 (1)
⇔ – 4,9t2 + 20t – 4 > 0.
Xét tam thức f(t) = – 4,9t2 + 20t – 4 có ∆' = 102 – (– 4,9) . (– 4) = 80,4 > 0 nên f(t) có hai nghiệm t1 = và t2 = .
Mặt khác hệ số a = – 4,9 < 0 nên ta có bảng xét dấu sau:
Do đó tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = .
Vậy trong khoảng thời điểm ≈ (0,21; 3,87) (giây) thì quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất.
Bài tập
Bài 6.15 trang 24 Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) 3x2 – 4x + 1;
b) x2 + 2x + 1;
c) – x2 + 3x – 2;
d) – x2 + x – 1.
Lời giải:
a) f(x) = 3x2 – 4x + 1 có ∆' = (– 2)2 – 3 . 1 = 1 > 0, hệ số a = 3 > 0 và có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 1.
Do đó ta có bảng xét dấu f(x):
Suy ra f(x) > 0 với mọi và f(x) < 0 với mọi .
b) f(x) = x2 + 2x + 1 có ∆' = 12 – 1 . 1 = 0 và a = 1 nên f(x) có nghiệm kép x = – 1 và f(x) > 0 với mọi x ≠ – 1.
c) f(x) = – x2 + 3x – 2 có ∆ = 32 – 4 . (– 1) . (– 2) = 1 > 0, hệ số a = – 1 < 0 và có hai nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = 2.
Do đó ta có bảng xét dấu f(x):
Suy ra f(x) > 0 với mọi x ∈ (1; 2) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (2; + ∞).
d) f(x) = – x2 + x – 1 có ∆ = 12 – 4 . (– 1) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi .
Bài 6.16 trang 24 Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai:
a) x2 – 1 ≥ 0;
b) x2 – 2x – 1 < 0;
c) – 3x2 + 12x + 1 ≤ 0;
d) 5x2 + x + 1 ≥ 0.
Lời giải:
a) Tam thức f(x) = x2 – 1 có ∆ = 02 – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x1 = – 1 và x2 = 1.
Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞).
b) Tam thức f(x) = x2 – 2x – 1 có ∆' = (– 1)2 – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = 1 + .
Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
c) Tam thức f(x) = – 3x2 + 12x + 1 có ∆' = 62 – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm và .
Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .
d) Tam thức f(x) = 5x2 + x + 1 có ∆ = 12 – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
x2 + (m + 1)x + 2m + 3.
Lời giải:
Ta có tam thức f(x) = x2 + (m + 1)x + 2m + 3 có ∆ = (m + 1)2 – 4 . 1 . (2m + 3) = m2 + 2m + 1 – 8m – 12 = m2 – 6m – 11.
Lại có hệ số a = 1 > 0.
Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi thì ∆ < 0.
⇔ m2 – 6m – 11 < 0.
Xét tam thức h(m) = m2 – 6m – 11 có ∆'m = (– 3)2 – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên h(m) có hai nghiệm m1 = và m2 = .
Mặt khác ta có hệ số am = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Do đó, h(m) < 0 với mọi m .
Hay ∆ < 0 với mọi m .
Vậy m thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi .
Lời giải:
Vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m nên vật chuyển động nhanh dần đều.
Độ cao so với mặt đất của vật được mô tả bởi một hàm số bậc hai h(t) = v0t + gt2, trong đó v0 = 20 m/s là vận tốc ban đầu của vật, t là thời gian chuyển động tính bằng giây, g là gia tốc trọng trường (thường lấy g ≈ 10 m/s2) và độ cao h(t) tính bằng mét.
Khi đó ta có: h(t) = 20 . t + . 10 . t2 hay h(t) = 5t2 + 20t.
Vật ném xuống từ độ cao 320 m nên khi vật cách mặt đất không quá 100 m có nghĩa là vật đã chuyển động được quãng đường lớn hơn hoặc bằng 320 – 100 = 220 m.
Khi đó h(t) ≥ 220 hay 5t2 + 20t ≥ 220 ⇔ t2 + 4t – 44 ≥ 0 (1).
Tam thức f(t) = t2 + 4t – 44 có ∆' = 22 – 1 . (– 44) = 48 > 0 nên f(t) có hai nghiệm và .
Mặt khác hệ số a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu:
Suy ra bất phương trình (1) có nghiệm t ≤ hoặc t ≥ .
Mà thời gian t > 0 nên t ≥ ≈ 4,93.
Vậy sau ít nhất khoảng 4,93 giây thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.
Lời giải:
Vì AM = x nên x > 0, lại có AM < AB nên x < 4, vậy điều kiện của x là 0 < x < 4.
Đường tròn lớn có đường kính AB = 4 nên bán kính của hình tròn này là R = 2.
Diện tích hình tròn lớn này là SR = πR2 = π . 22 = 4π.
Đường tròn nhỏ đường kính AM = x có bán kính là r1 = .
Diện tích hình tròn nhỏ có bán kính r1 là S1 = πr12 = π .
Ta có: AM + MB = AB ⇒ MB = AB – AM = 4 – x.
Đường tròn đường kính MB có bán kính là r2 = .
Diện tích hình tròn có bán kính r2 là S2 = πr22 = .
Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là:
S12 = S1 + S2 = = .
Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là
S(x) = SR – S12 = .
Vì diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay diện tích S(x) nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng diện tích hia hình tròn nhỏ hay S(x) ≤ .
Khi đó:
⇔ – 2x2 + 8x ≤ x2 – 4x + 8
⇔ 3x2 – 12x + 8 ≥ 0
Xét tam thức f(x) = 3x2 – 12x + 8 có ∆' = (– 6)2 – 3 . 8 = 12 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x1 = và x2 = .
Mặt khác hệ số a = 3 > 0, do đó ta có bảng xét dấu f(x):
Do đó f(x) ≥ 0 với mọi .
Kết hợp với điều kiện 0 < x < 4.
Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài là .
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài tập cuối chương 6 trang 28, 29
Bài 19: Phương trình đường thẳng
Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách