Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 12: Hình bình hành
Bài 3.12 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Xét hai hình bình hành MNBA và MNCB.
a) Chứng minh A, B, C là ba điểm thẳng hàng;
b) Chứng minh B là trung điểm của AC;
c) Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNCA là một hình thang cân?
d) Lấy điểm D để tứ giác MNDC là hình bình hành. Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNDA là một hình thang cân?
Lời giải:
a) Do MNBA và MNCB là hình bình hành
Suy ra AB // MN, BC // MN nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng AB và BC trùng nhau
Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Do MNBA và MNCB là hình bình hành
Suy ra AB = MN, BC = MN
Mà A, B, C thẳng hàng nên B là trung điểm của AC.
c) Do MNCB là hình bình hành nên NC // MB, từ đó (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang MNCA là hình thang cân là tức là
Vậy điều kiện để MNCA là hình thang cân là tam giác MAB cân tại M.
d)
Do MNDC là hình bình hành nên ND // MC, từ đó (hai góc đồng vị). Điều kiện để hình thang MNDA là hình thang cân là .
Vậy điều kiện để MNDA là hình thang cân là tức là tam giác MAC cân tại M.
Do MB là đường trung tuyến của tam giác MAC nên điều kiện để tam giác MAC cân tại M là MB vuông góc với AC.
Vậy điều kiện để hình thang MNDA là hình thang cân đó là tam giác MAB vuông tại B.
Lời giải:
Xét hình thang ABCD với hai đáy AB và CD. Giả sử AB < CD.
Kẻ đường thẳng đi qua B song song với AD, cắt CD tại E.
Xét tứ giác ABED có: AB // DE và AD // BE
Do đó ABED là hình bình hành nên AB = DE và AD = BE.
Do AB < CD nên E nằm giữa C và D, do đó EC = DC – DE hay EC = DC ‒ AB. (1)
Trong tam giác BEC có: BE + BC > EC (bất đẳng thức trong tam giác)
Mà AD = BE nên AD + BC > EC (2)
Từ (1), (2) suy ra AD + BC > DC – AB.
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD
Gọi
Vì AB // CD nên ta có
Suy ra
(do ∆AFD nên ) (1)
• Ta có:
Suy ra
Mà (do ∆AFD và ∆ABE đều)
Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
Xét ∆AEF và ∆DCF có
AF = DF ( vì ∆ADF đều);
(chứng minh trên);
AE = DC (vì cùng bằng AB)
Do đó: ∆AEF = ∆DCF (c.g.c)
Suy ra EF = CF (*)
•
Mà ABCD là hình bình hành nên
Suy ra , mà (chứng minh trên)
Suy ra
Xét ΔBCE và ΔDFC có:
BE = CD (vì cùng bằng AB);
(chứng minh trên);
BC = DF (vì cùng bằng AD)
Do đó ∆BCE = ∆DFC (c.g.c)
Suy ra CE = CF (**)
Từ (*) và (**) suy ra: EF = CF = CE
Vậy ∆ECF là tam giác đều.
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD có tính chất hai góc kề mỗi cạnh là hai góc bù nhau.
Vì nên .
Vì nên .
Vậy ABCD có mỗi cặp góc đối đều bằng nhau nên nó là một hình bình hành.
Lời giải:
Tứ giác AD'A'D có hai đường chéo AA', DD' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là một hình bình hành.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của AB thì cần tìm D thuộc Ox, E thuộc Oy sao cho K là trung điểm của DE.
Lấy điểm M sao cho K là trung điểm của OM, kẻ các đường thẳng qua M song song với Ox, song song với Oy cắt Ox ở D, cắt Oy ở E cần tìm.
Thật vậy, nếu ME // OD và MD // OE thì ODME là hình bình hành
Mà K là trung điểm của OM nên K là trung điểm của DE
Lại có K là trung điểm của AB nên tứ giác ADBE có hai đường chéo DE, AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mà AB = CD, AE = CF nên BE = DF
Lời giải:
Do ABCD là hình bình hành nên , AD = BC, AB = CD,
• Ta có: AD = AH + DH, BC = BG + CG
Mà BG = DH, AD = BC nên AH = CG
Xét ∆AEH và ∆CFG có:
AH = CG, (do ), AE = CF
Suy ra ∆AEH = ∆CFG (c.g.c) nên EH = FG.
Ta có: AB = AE + BE, CD = CF + DF
Xét ∆BEG và ∆DFH có:
BE = DF, (do ), BG = DH
Suy ra ∆BEG = ∆DFH (c.g.c) nên EG = FH.
Tứ giác EGFH có EH = FG, EG = FH nên là một hình bình hành.
• Do ABCD là hình bình hành nên khi ta gọi O là giao điểm của AC thì O là trung điểm của BD.
Vì tứ giác BEDF là hình bình hành (do EB = DF và EB // DF) nên hai đường chéo EF cắt nhau DB tại trung điểm O của BD.
Tương tự, GH đi qua trung điểm O của BD.
Vậy các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.
b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.
c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.
d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh KC = KI và KC vuông góc với KI. (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau).
Lời giải:
a) Hình bình hành AEID có (hai góc kề một cạnh của hình bình hành)
Ta có:
Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra
Suy ra
Vậy
Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB
∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE
Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.
Xét ∆ADI và ∆BAC có
AD = AB, , DI = AC (chứng minh trên)
Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).
b) Giả sử AI cắt BC ở H .
Ta có: , mà (do ∆DAB vuông cân tại A)
Suy ra
Mà (do ∆ADI = ∆BAC) nên
Trong ∆ABH có:
Suy ra hay AI ⊥ BC.
c) Ta có và
Do đó
Xét ∆BAE và ∆DAC có:
AB = AD; ; AC = AE
Do đó ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)
Suy ra
Gọi J là giao của DC và BE, ta có
Gọi P là giao điểm của AB và CD.
Tam giác ADP vuông tại A nên
Mà và (đối đỉnh)
Do đó , suy ra hay CD vuông góc với BE.
d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó
Khi đó nên DABK vuông cân tại K, do đó KA = KB
Ta có:
Mặt khác (do DABD vuông cân tại A nên
Do đó .
Xét DAKI và ∆BKC có:
AK = BK, , AI = BC (do ∆ADI = ∆BAC)
Suy ra ∆AKI = ∆BKC (c.g.c) nên KI = KC và
Ta có:
Mà nên hay nên KI và KC vuông góc.
Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
