Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A

Bài 3.19 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A rồi dựng hình bình hành AEID.

a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.

b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.

c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.

d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh KC = KI và KC vuông góc với KI. (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau).

Trả lời

a) Hình bình hành AEID có $\widehat{ADI}+\widehat{DAE}=180°$(hai góc kề một cạnh của hình bình hành)

Ta có: $\widehat{DAE}+\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=360°$

Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra 

Suy ra $\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=360°-90°-90°=180°$

Vậy $\widehat{ADI}=\widehat{BAC.}$

Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB

∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE

Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.

Xét ∆ADI và ∆BAC có

AD = AB, , DI = AC (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).

b) Giả sử AI cắt BC ở H .

Ta có: $\widehat{DAI}+\widehat{DAB}+\widehat{BAH}=180°$, mà $\widehat{DAB}=90°$(do ∆DAB vuông cân tại A)

Suy ra $\widehat{DAI}+\widehat{BAH}=90°$

Mà $\widehat{DAI}=\widehat{ABC}$(do ∆ADI = ∆BAC) nên $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90°$

Trong ∆ABH có: $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}+\widehat{AHB}=180°$

Suy ra $\widehat{AHB}=180°\left(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}\right)=180°-90°=90°$ hay AI ⊥ BC.

c) Ta có $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90°$ và $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+90°$

Do đó $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$

Xét ∆BAE và ∆DAC có:

AB = AD; $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$; AC = AE

Do đó ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{CDA}$

Gọi J là giao của DC và BE, ta có $\widehat{JBA}=\widehat{JDA}.$

Gọi P là giao điểm của AB và CD.

Tam giác ADP vuông tại A nên $\widehat{PDA}+\widehat{DPA}=90°$

Mà $\widehat{PDA}=\widehat{JBP}$ và $\widehat{DPA}=\widehat{BPJ}$ (đối đỉnh)

Do đó $\widehat{JBP}+\widehat{BPJ}=90°$, suy ra $\widehat{PJB}=90°$ hay CD vuông góc với BE.

d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó $\widehat{DAK}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=45°$

Khi đó $\widehat{ABK}=\widehat{BAK}=45°$ nên DABK vuông cân tại K, do đó KA = KB

Ta có: $\widehat{KAI}=\widehat{DAK}+\widehat{DAI}=45°+\widehat{DAI}=45°+\widehat{ABC}$

Mặt khác $\widehat{KBC}=\widehat{ABK}+\widehat{ABC}=45°+\widehat{ABC}$ (do DABD vuông cân tại A nên $\widehat{ABK}=45°)$

Do đó $\widehat{KAI}=\widehat{KBC}$.

Xét DAKI và ∆BKC có:

AK = BK, $\widehat{KAI}=\widehat{KBC}$, AI = BC (do ∆ADI = ∆BAC)

Suy ra ∆AKI = ∆BKC (c.g.c) nên KI = KC và 

Ta có: $\widehat{AKC}+\widehat{BKC}=90°$

Mà $\widehat{AKI}=\widehat{BKC}$ nên $\widehat{AKC}+\widehat{AKI}=90°$ hay $\widehat{IKC}=90°$ nên KI và KC vuông góc.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 10: Tứ giác

Bài 11: Hình thang cân

Bài 12: Hình bình hành

Bài 13: Hình chữ nhật

Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Bài tập cuối chương 3