Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 11: Hình thang cân

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 11: Hình thang cân

Bài 3.7 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB, CD là hai đáy) biết $\widehat{A}=2\widehat{D}$, $\widehat{B}=\widehat{C}+40°.$

Lời giải:

Trong hình thang ABCD có:

$\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là 2 góc bù nhau, $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là 2 góc bù nhau.

Do đó $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$, $\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Mà $\widehat{A}=2\widehat{D}$ nên $2\widehat{D}+\widehat{D}=180°$, suy ra $\widehat{D}=60°$. Do đó $\widehat{A}=2\widehat{D}=2\cdot 60°=120°.$

       $\widehat{B}=\widehat{C}+40°$ nên $\widehat{C}+40°+\widehat{C}=180°$, hay $2\widehat{C}=140°$, suy ra $\widehat{C}=70°$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}+40°=70°+40°=110°$

Vậy hình thang ABCD có $\widehat{A}=120°;\widehat{B}=110°;\widehat{C}=70°;\widehat{D}=60°.$

Bài 3.8 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất hai góc tù.

Lời giải:

Xét hình thang ABCD có AB // CD

Ta có:

• $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là hai góc kề với cạnh bên AD

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$ nên trong hai góc đó có có quá 1 góc tù

• $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc kề với cạnh bên BC

Suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ nên trong hai góc đó có có quá 1 góc tù

Do đó, trong bốn góc $\widehat{A};\widehat{B;}\widehat{C};\widehat{D}$ có nhiều nhất 2 góc là góc tù.

Bài 3.9 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Ghép thêm vào phía ngoài tam giác đó tam giác BCD vuông cân tại đỉnh B. Chứng minh tứ giác ABDC là một hình thang vuông (hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy).

Lời giải:

Do ∆ABC vuông cân tại đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB};$ $\widehat{A}=90°$

Xét trong ∆ABC ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{A}=180°$

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{A}}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°.$

Do ∆BCD vuông cân tại đỉnh B nên $\widehat{BCD}=\widehat{BDC};$ $\widehat{CBD}=90°$

Xét trong ∆BCD ta có: $\widehat{BCD}+\widehat{BDC}+\widehat{CBD}=180°$

Nên $\widehat{BCD}=\widehat{BDC}=\frac{180°-\widehat{CBD}}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°.$

Ta có $\widehat{ABC}=45°=\widehat{BCD}$ nên AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang đó là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.

Bài 3.10 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Lời giải:

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Xét ∆ABC và ∆BAD có

BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{ABD}$.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}$;$\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ hay $\widehat{SDC}=\widehat{SCD}$ suy ra $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}=\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.

Bài 3.11 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng AD = 2 cm.

Lời giải:

Do CA là tia phân giác của $\widehat{C}$ nên $\widehat{BCA}=\widehat{ACD}$

Mà ABCD là hình thang cân nên AB // CD, suy ra $\widehat{BCA}=\widehat{ACD}$(hai góc so le trong)

Do đó, $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$, suy ra ∆ABC cân tại B.

Đặt $\widehat{BAC}=\alpha$ thì $\widehat{C}=2\alpha$.

Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{D}=\widehat{C}=2\alpha .$

Tam giác ADC vuông tại A nên $\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=2\alpha +\alpha =90°,$ suy ra $\alpha =30°,\widehat{D}=60°.$

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho DM = AD, mà $\widehat{D}=60°$ thì AMD là tam giác đều, nên $\widehat{MAD}=60°$

Khi đó $\widehat{MAC}=\widehat{CAD}-\widehat{MAD}=90°-60°=30°$

Suy ra $\widehat{ACM}=\widehat{CAM}=30°$ nên tam giác MAC cân tại M

Do đó AM = MC, mà AM = DM = AD

Nên AM = DM = AD = MC hay DC = 2AD.

Vậy AB = BC = AD, DC = 2AD nên chu vi hình thang bằng

AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10 cm.

Xem thêm Lời giải bài tập SBT Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 2

Bài 10: Tứ giác

Bài 12: Hình bình hành

Bài 13: Hình chữ nhật

Bài 14: Hình thoi và hình vuông