Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số

Đề bài: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: $u_n=\frac{2n-1}{n+3},n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

A. Dãy số giảm, bị chặn trên;

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới;

C. Dãy số tăng, bị chặn;

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2\left(n+1\right)-1}{n+1+3}-\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3}$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(2n+1\right)\left(n+3\right)-\left(2n-1\right)\left(n+4\right)}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}=\frac{7}{n^2+7n+12} \\ =\frac{7}{{\left(n+\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy dãy (u_n) là dãy số tăng.

⦁ Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2\left(n+3\right)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$ .

Do n ∈ ℕ^* nên $\frac{1}{n+3}\le \frac{1}{4}$ .

Suy ra $2-\frac{7}{n+3}\ge 2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$ .

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi $\frac{7}{4}$ .

Lại có u_n bị chặn trên (do u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*).

Vậy (u_n) bị chặn.

Do đó ta chọn phương án C.