Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương

Câu 3: Với mọi số tự nhiên n thì a_n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Trả lời

Ta có: a_n  =  n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)(n²  + 3n + 2) + 1

= (n²  + 3n)²  + 2(n²  + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)².

Với n là một số tự nhiên thì (n² + 3n + 1)² cũng sẽ là một số tự nhiên.

Vậy nên a_n là một số chính phương.