Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S1 = 2; S2 = 2 + 3 = 5; S3 = 2 + 3 + 5 = 10

Câu 14: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_n là tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S₁ = 2; S₂ = 2 + 3 = 5; S₃ = 2 + 3 + 5 = 10; ...).

Chứng minh rằng trong dãy số S₁, S₂, S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.

Trả lời

Gọi p_n là số nguyên tố thứ n

Giả sử tồn tại m mà S_m-1 = k²; S_m = l²; k, l ∈ ℕ*

Vì S₂ = 5, S₃ = 10, S₄ = 17

Suy ra m > 4

Ta có: P_m = S_m – S_m-1 = l² – k² = (l – k)(l + k)

Vì p_m là số nguyên tố và k + l > 1 nên $\left\{\begin{array}{l}l-k=1\\ l+k=p_m\end{array}\right.$

Suy ra $p_m=2l-1=2\sqrt{S_m}-1$

Suy ra ${\text{S}}_m={\left(\frac{p_m+1}{2}\right)}^2$                          (1)

Do m > 4 nên

S_m ≤ (1 + 3 + 5 + 7 + ... + p_m) + 2 – 1 – 9

$\iff S_m\le 1^2-0^2+2^2-1^2+3^2-2^2+\mathrm{...}+\left[{\left(\frac{p_m+1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{p_m-1}{2}\right)}^2\right]-8$

$\iff S_m\le {\left(\frac{p_m+1}{2}\right)}^2-8<{\left(\frac{p_m+1}{2}\right)}^2$ (mâu thuẫn với (1))

Vậy trong dãy số S₁, S₂, S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.