Với giá trị nào của a và b thì đa thức x^3 + ax^2 + 2x + b chia hết cho đa thức x^2 + x + 1

Đề bài: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x³ + ax² + 2x + b chia hết cho đa thức x² + x + 1.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}{x}^3+a{x}^2+2x+b=x\left(x^2+x+1\right)+\left(a-1\right)\left(x^2+x+1\right)+x+b-\left(a-1\right)x-\left(a-1\right)\\ =\left(x+a-1\right)\left(x^2+x+1\right)+x\left(2-a\right)+\left(b-a+1\right)\end{array}$

Thấy rằng bậc của x(2 – a) + (b – a + 1) nhỏ hơn bậc của x²  + x + 1 nên nó là số dư của x³ + ax² + 2x + b chia cho x² + x + 1

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu để bài thì: x(2 – a) + (b – a + 1) = 0

Hay a = 2; b = 1

Vây (a; b) = (2; 1).