Viết phương trình đường thăng (d) đi qua điểm A(1; 1) và cách điểm B(−2; 2) một khoảnh bằng \(\sqrt 5 \).

Lời giải

Giả sử đường thẳng (d) cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\,b} \right)\) với a² + b² ≠ 0.

Khi đó (d) có phương trình: Ax + bx – a – b = 0

Do d(B; (d)) = \(\sqrt 5 \), ta có phương trình:

\(\frac{{\left| { - 2a + 2b - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \left| {b - 3a} \right| = \sqrt {5{a^2} + 5{b^2}} \)

⇔ b² – 6ab + 9a² = 5a² + 5b²

⇔ 2a² – 3ab – 2b² = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2b\\a = \frac{{ - 1}}{2}b\end{array} \right.\).

Với a = 2b. do a² + b² ≠ 0 nên chọn a = 2, b = 1 thu được đường thẳng

(d₁): 2x + y – 3 = 0

Với \(a = \frac{{ - 1}}{2}b\), do a² + b² ≠ 0 nên chọn a = 1, b = −2 thu được đường thẳng

(d₂): x – 2y + 1 = 0.