Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tu
15
23/06/2024
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E.
a) Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
Trả lời
Lời giải
a) Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC
Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên DB = DM
Xét (O) có EM, EC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên EM = EC
Chu vi ΔADE là:
AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE
= AD + DB + EC + AE
= AB + AC
= 2AB.
Vậy chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
b) Xét (O) có EM, EC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E
Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
Do đó \(\widehat {EOC} = \widehat {EOM} = \frac{1}{2}\widehat {COM}\)
Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có \(\widehat {EOD} = \widehat {EOM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {COM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\)
Vậy \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
