Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

Gọi \(\overline {abcd} \) là số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Khi đó: a + b + c + d chia hết cho 3

Ta phân các chữ số thành 3 tập A, B, C có các phần tử khi chia cho 3 có số dư lần lượt là 1, 2, 0 , cụ thể 3 tập đó là:

A = {1; 4; 7}

B = {2; 5; 8}

C = {0; 3; 6; 9}

TH1: 4 chữ số thuộc tập hợp C, trừ trường hợp a = 0

4! – 3! = 18 (số)

TH2: 2 chữ số thuộc tập C; 1 chữ số thuộc tập A; 1 chữ số thuộc tập B

\(C_4^2\,.\,C_3^1\,.\,C_3^1\,.\,4!\,\, - \,C_3^1\,.\,C_3^1\,.\,C_3^1\,.\,3!\,\)= 1134 (số)

TH3: 1 chữ số thuộc tập C; 3 chữ số thuộc tập A hoặc chữ số thuộc tập B

2 \(\left( {C_4^1\,.\,4!\, - \,3!} \right)\) = 180 (số)

TH4: 2 chữ số thuộc tập A; 2 chữ số thuộc tập B

\(C_3^2\,.\,C_3^2\,.4!\) = 216 (số)

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là: 18 + 1134 + 180 + 216 = 1548 (số).