Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A

Bài 13 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng $d_n:y=\frac{2n+1}{n}x$ tại điểm Pn (n ∈ ℕ*). Kí hiệu S_n là diện tích của tam giác OAP_n. Tìm limS_n.

Trả lời

Ta có: A(2; 0) nên OA = 2.

Đường thẳng d: x + y = 2 ⇔ y = 2 – x nên $\tan \widehat{OA{P}_n}=\left|-1\right|=1\Rightarrow \widehat{OA{P}_n}=45°$

P_n(x₀; y₀) ∈ d nên P_n(x₀; 2 – x₀)

P_n(x₀; y₀) ∈ d_n­ nên ta có:

$$\begin{gathered} y_0=\frac{2n+1}{n}{x}_0\iff 2-x_0=\frac{2n+1}{n}{x}_0 \\ \iff \frac{3n+1}{n}{x}_0=2 \end{gathered}$$

$\iff x_0=\frac{2n}{3n+1}\Rightarrow y_0=2-\frac{2n}{3n+1}=\frac{4n+2}{3n+1}$

$\Rightarrow P_n\left(\frac{2n}{3n+1};\frac{4n+2}{3n+1}\right)$

Gọi H là hình chiếu của P_n­ lên Ox. Khi đó $P_{n}H=\left|y_0\right|=\frac{4n+2}{3n+1}$

$\Rightarrow A{P}_n=\frac{P_{n}H}{\sin 45°}=\frac{4n+2}{3n+1}:\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4n+2}{3n+1}\cdot \sqrt{2}$

Ta có $S_n=\frac{1}{2}OA\cdot A{P}_n\cdot \text{sin}\widehat{OA{P}_n}$$=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{4n+2}{3n+1}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4n+2}{3n+1}.$

Khi đó $\text{lim}{S}_n=\text{lim}\frac{4n+2}{3n+1}=\text{lim}\frac{4+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{4}{3}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3