Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tìm M

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tìm M thuộc trục tung sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất.

Trả lời

Hướng dẫn giải:.

M thuộc trục tung nên ta có: M(0; y)

$\begin{array}{l}\Rightarrow M{A}^2+M{B}^2=1+{\left(y+1\right)}^2+3^2+{\left(y-2\right)}^2\\ =2y^2-2y+15\\ =2\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\frac{29}{2}\\ =2{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{29}{2}\ge \frac{29}{2}\end{array}$

Hay $M{A}^2+M{B}^2\ge \frac{29}{2}$

Dấu bằng xảy ra hay $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất  khi và chỉ khi  $y=\frac{1}{2}$

Vậy $M\left(0;\frac{1}{2}\right)$