Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2r − y − 2z – 2 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x − y − 2x + 10 = 0 song song với nhau. Biết A(1; 2; 1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

Ta thấy  $M(1;0;0)$  là một điểm thuộc  $\left(P\right).$

Vì  $\left(P\right)//\left(Q\right)$ nên  $d\left(\right(P),(Q\left)\right)=d(M,(Q\left)\right)=\frac{|2+10|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}=4$

Giả sử  $I(a;b;c)$ là tâm của  $\left(S\right).$ Vì  $\left(S\right)$ tiếp xúc với cả  $\left(P\right)$ và  $\left(Q\right)$  nên bán kính mặt cầu (S) là  $R=\frac{d\left(\right(P),(Q\left)\right)}{2}=\frac{4}{2}=2.$

Do đó  $IA=2$ nển I luôn thuộc mặt cầu  $\left(T\right)$ tâm A, bán kính 2.

Ngoài ra,  $d(I,(P\left)\right)=d(I,(Q\left)\right)\iff \frac{|2a-b-2c-2|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}=\frac{|2a-b-2c+10|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}$ 

$\iff |2a-b-2c-2|=|2a-b-2c+10|\iff 2a-b-2c-2=-(2a-b-2c+10)$

 $\iff 2a-b-2c+4=0.$

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng  $\left(R\right):2x-y-2z+4=0.$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì  $A,\left(R\right)$  cố định nên H cố định.

Ta có  $AH=d(A,(R\left)\right)=\frac{|2.1-2-2.1+4|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}=\frac{2}{3}.$

Mà  $AH\perp \left(R\right)\Rightarrow AH\perp HI,$ do đó  $\Delta AHI$ vuông tại H nên 

$HI=\sqrt{A{I}^2-A{H}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\text{.}$

Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R) bán kính  $r=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$

Chọn A