Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BCD}=120°.$  Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Diện tích tam giác A'AB bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (ABC).

2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'.

1. Gọi H là giao điểm của AC và BD.
Hình thoi ABCD có $\widehat{BCD}=120°$$\Rightarrow \widehat{ABC}=60°\text{.}$
Do đó ABC là tam giác đều $\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow S_{ABH}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}.$
Tam giác ABH là hình chiếu của tam giác A'BH.
Gọi góc giữa $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ và $\left(ABCD\right)$ là $\phi .$
Khi đó ta có $S_{ABH}=S_{AB{A}^{\text{'}}}\cos \phi \Rightarrow \cos \phi =\frac{S_{ABH}}{S_{AB{A}^{\text{'}}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =60°.$
2. Ta có $S_{ABCD}=2S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$
Gọi M là trung điểm A B, I là trung điểm AM.
Khi đó $HI\perp AB\Rightarrow$ góc giữa $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ và $\left(ABCD\right)$ là góc $\widehat{A^{\text{'}}IH}=60°.$
Ta có $IH=\frac{1}{2}CM=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow A^{\text{'}}H=IH.\tan 60°=\frac{3a}{4}.$