Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình $9z^2+6z+1-m=0$  nghiệm phức thỏa mãn $\left|z\right|=1.$  Tính S.

Phương trình  $9z^2+6z+1-m=0(*)$ có  ${\Delta }^{\text{'}}=9-9(1-m)=9m.$

Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1. (*) có nghiệm thực  $\iff {\Delta }^{\text{'}}\ge 0\iff m\ge 0.$

Khi đó,  $\left|z\right|=1\iff \left[\begin{array}{l}z=1\\ z=-1\end{array}\right..$

+)  $z=1\Rightarrow m=16$  (thỏa mãn).

+)  $z=-1\Rightarrow m=4$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2. (*) có nghiệm phức  $z=a+bi(b\ne 0)\iff {\Delta }^{\text{'}}<0\iff m<0.$

Nếu z là một nghiệm của phương trình  $9z^2+6z+1-m=0$ thì  $\overline{z}$ cũng là một nghiệm của phương trình  $9z^2+6z+1-m=0.$ 

Ta có  $\left|z\right|=1\iff |z{|}^2=1\iff z.\overline{z}=1\iff \frac{1-m}{9}=1\iff m=-8$ (thỏa mãn).