Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 30°. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Goi  $O=AC\cap BD.$

 Ta có  $\Delta ABC$ đều cạnh a có H là trọng tâm   $\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{3}}{2},CH=\frac{a\sqrt{3}}{3},HD=\frac{4}{3}BO=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$

Mặt khác,  $\left(\widehat{SD,(ABCD}\right))=\widehat{SDH}=30°$ 

$\Rightarrow SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\frac{2a}{3}.$

Lại có  $CH\perp AB\Rightarrow CH\perp CD.$

Kẻ  $HK\perp SC(K\in SC).$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}SH\perp CD\\ CH\perp CD\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SHC\right)\Rightarrow HK\perp CD\right..$ 

$\Rightarrow HK\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d_{(H,(SCD\left)\right)}=HK=\frac{SH\cdot HC}{\sqrt{S{H}^2+H{C}^2}}=\frac{2a\sqrt{21}}{21}.$

Mà  $\frac{d_{(H,(SCD\left)\right)}}{d_{(B,(SCD\left)\right)}}=\frac{HD}{BD}=\frac{2}{3}\Rightarrow d_{(B,(SCD\left)\right)}=\frac{a\sqrt{21}}{7}.$.

Chọn D