Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2020 để phương trình ${\log }_2(m+\sqrt{m+2^x})=2x$  có nghiệm thực?

A. 2017. 

B. 2018.

C. 2020. 

D. 2019.

Phương trình đã cho tương dương với phương trình
$m+\sqrt{m+2^x}=2^{2x}\iff \left(m+2^x\right)+\sqrt{m+2^x}=2^{2x}+2^x\left(1\right).$
Ta có $\sqrt{m+2^x}\ge 0,2^x>0.$
Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=t^2+t$ trên $[0;+\infty ).$
Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=2t+1\ge 0,\forall t\in [0;+\infty )$
$\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên khoảng $[0;+\infty ).$
Do đó $\left(1\right)\iff f\left(\sqrt{m+2^x}\right)=f\left(2^x\right)\iff \sqrt{m+2^x}=2^x\iff m=2^{2x}-2^x\left(2\right).$
Đặt $a=2^x,a>0$. Ta có (2) $\iff m=g\left(a\right)=a^2-a.$

Phương trình đã cho có nghiệm $\iff m\ge -\frac{1}{4}$ mà là giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 nên $m\in \{1;2;3;\dots ;2019\}.$
Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D