Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – y + 2z – 2 = 0

Đề bài: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):  x – y + 2z – 2 = 0 và 2 điểm A (2; 3; 0); B (2; – 1; 2). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left|MA-MB\right|$  lớn nhất.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đặt phương trình dạng: f = x – y + 2z – 2

⇒ f(A) . f(B) = ( –2). 5 = −10 < 0 nên A, B nằm hai phía khác nhau so với mặt phẳng (P).

A’ là điểm đối xứng của A qua (P) có phương trinh đường thẳng AA’: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{2}$

Gọi I là điểm đường thẳng AA’ và mặt phẳng (P) có: I (2 + t; 3 – t; 2t) ∈ (P)

⇒ t + 2 + t – 3 + 4t – 2 = 0

$\iff t=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow I\left(\frac{5}{2};\frac{5}{2};1\right)$

 ⇒ A’ (3; 2; 2).

$\left|MA-MB\right|=\left|MA\text{'}-MB\right|\le A\text{'}B$

$\Rightarrow \left|MA-MB\right|=A\text{'}B$ ⇔ A’; B; M thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng A’B: $\left\{\begin{array}{c}x=3+a\\ y=2+3a\\ z=2\end{array}\right.$

Mà M = A’B ∩ (P)

Vậy $M=\left(\frac{9}{2};\frac{13}{2};2\right)$ .