Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD

Bài 2 trang 103 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

Chứng minh:

a) AB // CD;

b) $∆$MNC = $∆$MND;

c) $\widehat{AMD}=\widehat{BMC}$;

d) AD = BC, $\widehat{A}=\widehat{B}$;

e) $\widehat{A\text{D}C}=\widehat{BC\text{D}}$.

Trả lời

Chứng minh (Hình 95):

a) Vì a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD (giả thiết)

Nên a $\perp$ AB và a $\perp$ CD.

Do đó AB // CD (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)

Vậy AB // CD.

b) Ta có: a $\perp$ CD tại N nên $∆$MNC vuông tại N và $∆$MND vuông tại N.

Xét $∆$MNC (vuông tại N) và $∆$MND (vuông tại N) có:

MN là cạnh chung

NC = ND (N là trung điểm của CD).

Do đó $∆$MNC = $∆$MND (hai cạnh góc vuông).

c) Vì $∆$MNC = $∆$MND (chứng minh câu b)

Nên $\widehat{MCN}=\widehat{MDN}$ (hai góc tương ứng). (1)

Do AM // DN nên $\widehat{AM\text{D}}=\widehat{M\text{D}N}$ (hai góc so le trong). (2)

Do BM // CN nên $\widehat{BMC}=\widehat{MCN}$ (hai góc so le trong). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{AM\text{D}}=\widehat{BMC}$.

Vậy $\widehat{AM\text{D}}=\widehat{BMC}.$

d)Vì $∆$MNC = $∆$MND (chứng minh câu b)

Nên MC = MD (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$AMD và $∆$BMC có:

AM = BM (M là trung điểm của AB),

$\widehat{AM\text{D}}=\widehat{BMC}$ (chứng minh trên),

MD = MC (chứng minh trên)

Do đó $∆$AMD = $∆$BMC (c.g.c)

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{MA\text{D}}=\widehat{MBC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy AD = BC và $\widehat{A}=\widehat{B}$.

e) Vì $∆$AMD = $∆$BMC (chứng minh câu d)

Nên $\widehat{A\text{D}M}=\widehat{BCM}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{M\text{D}N}=\widehat{MCN}$ (chứng minh câu c)

Do đó $\widehat{ADM}+\widehat{M\text{D}N}=\widehat{BCM}+\widehat{MCN}$ 

Hay $\widehat{A\text{D}C}=\widehat{BC\text{D}}$.

Vậy $\widehat{A\text{D}C}=\widehat{BC\text{D}}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 7: Tam giác cân

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác