Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A1B1 và B1C1 lần lượt tại K1 và M1.
Theo giả thiết: MK // AC
Mà M1K1 // AC (theo cách vẽ)
Suy ra: MK // M1K1.
Xét tam giác B1K1M1 có MK // M1K1 suy ra: \(\frac{{MO}}{{B{M_1}}}\, = \,\,\frac{{OK}}{{B{K_1}}}\,\)(*)
Xét tam giác AB1C1 và tam giác BM1C1 có:
\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \,\widehat {B{C_1}{M_1}}\)(2 góc đối đỉnh)
\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \,\widehat {B{M_1}{C_1}}\)(2 góc so le trong vì AC // M1K1)
Suy ra: ∆ AB1C1 ᔕ ∆ BM1C1 (g.g)
Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}}\, = \,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)⇒ \(B{M_1} = A{B_1}\,.\,\,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)(1)
Tương tự: ∆ CB1A1 ᔕ ∆ BK1A1 (g.g)
Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}}\, = \,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)⇒ \(B{K_1} = C{B_1}\,.\,\,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)(2)
Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}}\, = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}}\,\, = \,\,1\) (áp dụng định lí Xê–va)
Suy ra: BM1 = BK1 (**)
Từ (*) và (**), ta có: OM = OK
Vậy OM = OK.