Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).

Khi đó c² = 3.

Vì vậy a² – b² = 3.

Do đó a² = b² + 3.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).

Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).

Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)

⇔ 4b² + 3a² = 4a²b²

⇔ 4b² + 3(b² + 3) = 4b²(b² + 3)

⇔ 4b⁴ + 5b² – 9 = 0

⇔ b² = 1 hoặc \({b^2} = - \frac{9}{4}\) (vô lí)

⇔ b = 1.

Với b = 1, ta có a² = 1² + 3 = 4.

Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

Do đó ta chọn phương án C.