Cho $\cos \alpha = \frac{1}{3}$. Tính $A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có

$A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}$$= \frac{{\tan \alpha + 4.\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$$= \frac{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{\tan \alpha }}}}{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}{{\tan \alpha }}}}$

$= \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = 1 + 3{\cos ^2}\alpha$.

Thay $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ vào biểu thức $A = 1 + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 + 3.\frac{1}{9} = \frac{4}{3}$.