Tổng tất các nghiệm thuộc đoạn 0; 10pi của phương trình

Đề bài: Tổng tất các nghiệm thuộc đoạn $\left[\mathrm{0,10}\pi \right]$ của phương trình ${\sin }^{2}2x+ 3.\sin 2x + 2 = 0$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Phương trình: $si{n}^{2}2x+3sin2x+2=0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}sin2x=-1\\ sin2x=-2\left(VL\right)\end{array}\right.\iff sin2x=-1 \\ \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

Ta có: $x\in \left[0;10\pi \right]$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 0\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \\ \Rightarrow \frac{\pi }{4}\le k\pi \le \frac{41\pi }{4} \\ \Rightarrow \frac{1}{4}\le k\le \frac{41}{4} \end{gathered}$$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}$

Khi đó các nghiệm của phương trình là: $x\in \left\{\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4};\mathrm{...};\frac{39\pi }{4}\right\}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: $\frac{3\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}+\frac{11\pi }{4}+\frac{15\pi }{4}+\mathrm{...}+\frac{39\pi }{4}=\frac{105\pi }{2}$

Chọn đáp án A.