Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x+m)/(x+1) trên đoạn [1;2] bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào

A. $8<m<10$

B. $0<m<4$

C. $4<m<8$

D. $m>10$

Trả lời

Đáp án đúng là: A.

Tập xác định của hàm số $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1-m}{{\left(x+1\right)}^2}$ ; $f\left(1\right)=\frac{1+m}{2};f\left(2\right)=\frac{2+m}{3}$

$\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=\min \left\{f\left(1\right);f\left(2\right)\right\}$ và $\underset{\left[1;2\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=m\text{ax}\left\{f\left(1\right);f\left(2\right)\right\}$

$\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\text{max}}f\left(x\right)\text{+}\underset{\left[1;2\right]}{\text{min}}f\left(x\right)=\frac{2+m}{3}+\frac{1+m}{2}$.

Mà theo đề bài có $\underset{\left[1;2\right]}{\text{max}}f\left(x\right)\text{+}\underset{\left[1;2\right]}{\text{min}}f\left(x\right)=8$ .

$\Rightarrow \frac{2+m}{3}+\frac{1+m}{2}=8\iff m=\frac{41}{5}=\mathrm{8,2}$

Vậy $m\in \left(8;10\right)$ .