Cho hàm số f(x) = 2x^4 + ã^3 + bx^2 + cx + d (a,b,c,d thuộc R) có ba điểm cực trị là -1, 1 và 3. Gọi y = g(x) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm

A. $\frac{182}{15}$

B. $\frac{265}{15}$

C. $\frac{128}{15}$

D. $\frac{256}{15}$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=8x^3+3a{x}^2+2bx+c$ .

Vì hàm số có ba điểm cực trị là -1, 1 và 3 nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(-1\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(3\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a-2b+c=8\\ 3a+2b+c=-8\\ 27a+6b+c=-216\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-8\\ b=-4\\ c=24.\end{array}\right.$

Suy ra $f\left(x\right)=2x^4-8x^3-4x^2+24x+d$ .(1)

Đặt $g\left(x\right)=m{x}^2+nx+p\left(m\ne 0\right)$ .

Vì g(x)  đi qua 3 điểm cực trị nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}m{\left(-1\right)}^2+n\left(-1\right)+p=2{\left(-1\right)}^4-8{\left(-1\right)}^3-4{\left(-1\right)}^2+24\left(-1\right)+d\\ m\cdot 1^2+n\cdot 1+p=2\cdot 1^4-8\cdot 1^3-4\cdot 1^2+24\cdot 1+d\\ m\cdot 3^2+n\cdot 3+p=2\cdot 3^4-8\cdot 3^3-4\cdot 3^2+24\cdot 3+d\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-n+\left(p-d\right)=-18\\ m+n+\left(p-d\right)=14\\ 9m+3n+\left(p-d\right)=-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-8\\ n=16\\ p-d=6\end{array}\right.$

Suy ra $f\left(x\right)-g\left(x\right)=2x^4-8x^3+4x^2+8x-6$

$\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\iff 2x^4-8x^3+4x^2+8x-6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\\ x=3\end{array}\right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x)  và y = g(x)  bằng

$\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\text{d}x=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left|2\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2\left(x-3\right)\right|\text{d}x=\frac{256}{15}$