Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x^3 - 3x + 2m -1| trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

A. $\left(0;1\right)$

B. $\left(\frac{2}{3};2\right)$

C. $\left[-1;0\right]$

D. $\left(-\frac{3}{2};-1\right)$

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Đặt $f\left(x\right)=x^3-3x+2m-1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-3$ . Nên: $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left(0;2\right)\\ x=-1\notin \left(0;2\right)\end{array}\right.$ .

Ta có: $f\left(1\right)=2m-3<f\left(0\right)=2m-1<f\left(2\right)=2m+1$

$\Rightarrow \underset{\left[0;2\right]}{\max \left|f\left(x\right)\right|}=\max \left\{\left|2m+1\right|,\left|2m-3\right|\right\}$

· Trường hợp 1: $\underset{\left[0;2\right]}{\max \left|f\left(x\right)\right|}=\left|2m+1\right|$  thì

$\left|2m+1\right|\ge \left|2m-3\right|\iff {\left(2m+1\right)}^2\ge {\left(2m-3\right)}^2\iff 16m\ge 8\iff m\ge \frac{1}{2}.$

Với $m\ge \frac{1}{2}\Rightarrow \left|2m+1\right|\ge 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m=\frac{1}{2}.$

· Trường hợp 2: $\underset{\left[0;2\right]}{\max \left|f\left(x\right)\right|}=\left|2m-3\right|$  thì 

$\left|2m-3\right|\ge \left|2m+1\right|\iff {\left(2m-3\right)}^2\ge {\left(2m+1\right)}^2\iff 16m\le 8\iff m\le \frac{1}{2}.$

Với $m\le \frac{1}{2}\Rightarrow \left|2m-3\right|\ge 2$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m=\frac{1}{2}.$

Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi $m=\frac{1}{2}\in \left(0;1\right)$ .