Cho tứ diện ABCD có $S_{\Delta ABC}=4{\text{ cm}}^{\text{2}},S_{\Delta ABD}=6{\text{ cm}}^{\text{2}},AB=3\text{ cm}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng $60°$ . Thể tích của tứ diện đã cho bằng

Đáp án đúng là: D

Gọi H là chân đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh C.

Trong (ABC),  kẻ $CK\perp AB$  ($K\in AB$ ).

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng $\widehat{CKH}=60°$  và h = CH.

Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CK\Rightarrow CK=\frac{2S_{\Delta ABC}}{AB}=\frac{8}{3}$ .

Lại có: $CH=CK\cdot \text{sin}\widehat{CKH}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABD}.CH=\frac{8\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$ .