Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình $\log \left(mx+\log m^m\right)={10}^x$  có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Với số nguyên dương m  nhỏ hơn 20 ta có:

$\log \left(mx+\log m^m\right)={10}^x\iff mx+m\log m={10}^{{10}^x}$

$\iff {10}^x(mx+m\log m)={10}^x{.10}^{{10}^x}\iff \left(m{.10}^x\right).\log \left(m{.10}^x\right)={10}^x{.10}^{{10}^x}\left(1\right)$

Đặt ${10}^x=a;\mathrm{l}og\left(m{.10}^x\right)=b$  có: $a{.10}^a=b{.10}^b\Rightarrow a=b\Rightarrow {10}^x=\log \left(m{.10}^x\right)=\log m+x.$

$\Rightarrow \log m={10}^x-x$

Đặt $g\left(x\right)={10}^x-x$  có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={10}^x.\ln 10-1$ .

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=-\log \left(\ln 10\right)$ ; $g\left[-\log \left(\ln 10\right)\right]={10}^{-\log \left(\ln 10\right)}+\log \left(\ln 10\right)={\left(\ln 10\right)}^{-1}+\log \left(\ln 10\right).$

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm .

$\iff \log m>g\left[-\log \left(\ln 10\right)\right]\iff \log m>{\left(\ln 10\right)}^{-1}+\log \left(\ln 10\right)$

$\iff m>{10}^{{\left(\ln 10\right)}^{-1}+\log \left(\ln 10\right)}\approx \mathrm{6,72}$

Suy ra $m\in \left\{7;8;\mathrm{...};19\right\}$ .

Vậy có 13 số.