Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt (SAB) bằng a căn3/3

A. $2a\sqrt{3}$

B. $a\sqrt{5}$

C. $a\sqrt{2}$

D. $a\sqrt{3}$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Kẻ $OH\perp AB\Rightarrow AH=HB$ .

Kẻ $OK\perp SH$  (1)

Dễ dàng có được $\left\{\begin{array}{l}SO\perp AB\\ SH\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SHO\right)\Rightarrow AB\perp OK$  (2)

Từ (1) và (2) ta có: $OK\perp \left(SAB\right)$ .

$\Rightarrow d\left(O;\left(SAB\right)\right)=OK=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có, tam giác  đều nên $SH=SA\frac{\sqrt{3}}{2}$  và lại có $SO=SA.\text{sin}\widehat{SAO}=\frac{SA}{2}$ .

Suy ra $OH=\sqrt{S{H}^2-S{O}^2}=SA\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{SA}{\sqrt{2}}$ .

Xét tam giác SOH vuông tại O có:

$\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}\Rightarrow \frac{4}{S{A}^2}+\frac{2}{S{A}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}\Rightarrow l=a\sqrt{2}$

Vậy độ dài đường sinh của hình nón theo a  bằng $a\sqrt{2}$ .