Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2pi) của phương trình

Đề bài: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình $\sqrt{2}cos3x=\sin x+\cos x$.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{2}cos3x=\sin x+\cos x$

$\begin{array}{l}\iff cos3x=\cos x\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{16}+l\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k,l\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Với x ∈ (0; 2π) ta có:

$\left[\begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{8};x=\frac{15\pi }{8}\\ x=\frac{\pi }{16};x=\frac{9\pi }{16};x=\frac{17\pi }{16};x=\frac{25\pi }{16}\end{array}\right.$

Vậy tổng cần tìm là: S = 6π