Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0

Đề bài: Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 trên $\left[0;2\pi \right].$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có

$$\begin{gathered} \sin 2x-\cos x=0\iff \sin 2x=\cos x\iff \sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right) \\ \iff \left[\begin{array}{c}2x=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-x+k2\pi \\ 2x=\pi -\left(\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-x\right)+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle k2\pi }}{{\displaystyle 3}}\\ x=\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}+k2\pi \end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì $x\in \left[0;2\pi \right]$ suy ra

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}0\le \frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}\le 2\pi \\ 0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi \le 2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\le k\le \frac{11}{4}\Rightarrow k\in \left\{0;1;2\right\}\\ -\frac{1}{4}\le k\le \frac{3}{4}\Rightarrow k\in \left\{0\right\}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ là $\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}\to T=3\pi .$

Đáp án cần chọn là: A