Tính tổng min và max của hàm số y = căn 2+x + căn 2-x

Đề bài: Tính tổng min và max của hàm số:  căn (2+x) + căn (2-x) + 2 căn (4-x^2)

Trả lời

Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2.

Đặt $\sqrt{x+2}=a;\sqrt{2-x}=b$  (a, b ≥ 0).

$\Rightarrow$ a² + b² = 4.

Ta có: y = a + b + 2ab.

• Tìm min:

$y=\sqrt{{\left(a+b\right)}^2}+2ab=\sqrt{a^2+b^2+2ab}+2ab=\sqrt{4+2ab}+ab$.

Vì a, b ∈ [0; 2] ⇒ ab ≥ 0.

$\Rightarrow y\ge \sqrt{4+0}+0\iff y\ge 2$.

Vậy y_min = 2 ⇔ ab = 0 ⇔ x = ± 2.

• Tìm max:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\Rightarrow y\le a+b+\frac{{\left(a+b\right)}^2}{2}$ (1)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

a² + b² ≥ 2ab ⇔ 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

⇔ (a + b)² ≤ 8 $\Rightarrow a+b\le 2\sqrt{2}$  (2)

Từ (1) và (2)

Do đó y_max $=4+2\sqrt{2}$ .

Dấu “=” xảy ra khi a = b $\iff \sqrt{2+x}=\sqrt{2-x}\iff x=0$ .

Vậy y_max + y_min = $2+4+2\sqrt{2}=6+2\sqrt{2}$.