Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30] của phương trình tanx = tan3x (1

Câu 24: Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0; 30] của phương trình tanx = tan3x (1)

Trả lời

Điều kiện để (1) có nghĩa:  $\left\{\begin{array}{c}\cos x\ne 0\\ \cos 3x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Khi đó (1) trở thành  $3x=x+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

So sánh với điều kiện  $\Rightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Mà $x\in \left[0;30\right]$  nên  $0\le k\pi \le 30\Rightarrow k\in \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$

Các nghiệm của PT có trong khoảng trên là  $x\in \left\{0;\pi ;2\pi ;3\pi ;\mathrm{...};9\pi \right\}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $0+\pi +2\pi +3\pi +\mathrm{...}+9\pi =45\pi$ .