Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ . Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng $45°$, $SA=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left(SAC\right)$.

Gọi M là trung điểm BC.Vì tam giác ABC đều nên $AM\perp BC$(1).
Mặt khác, tam giác SBC cân tại S nên $SM\perp BC$ (2).
Từ (1) và (2) ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\widehat{SMA}$.
Xét tam giác $SAM$ vuông tại A có góc $\widehat{SMA}=45°$. Từ đó suy ra tam giác SAM vuông cân tại A
và $AM=SA=a\sqrt{3}$
Gọi I là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên $BI=AM=a\sqrt{3}$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BI\perp AC\\ BI\perp SA\text{ (Vì }SA\perp \left(ABCD\right))\\ AC,SA\in \left(SAC\right)\end{array}\right.\Rightarrow BI\perp \left(SAC\right)$
Vậy $d\left(B;\left(SAC\right)\right)=BI=a\sqrt{3}.$