Cho hàm số y=2-2/x-1 có đồ thị (C) và điểm M(3;-1). Gọi D là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm
119
04/05/2024
Cho hàm số y=x−2x−1 có đồ thị (C) và điểm M(3;−1). Gọi D là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm M và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MB=3MA. Tính tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D.
A. -1
B. −65
C. 95
D. 2
Trả lời
Chọn D
Gọi đường thẳng thuộc D có dạng: d:y=k(x−3)−1=kx−3k−1
Phương trình hoành độ giao điểm:
x−2x−1=kx−3k−1⇔x−2=(kx−3k−1)(x−1)⇔kx2−2(2k+1)x+3k+3=0(1)
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức là
{k≠0(2k+1)2−k(3k+3)>0k.12−2(2k+1).1+3k+3≠0⇔{k≠0k2+k+1>0⇔k≠0
Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa hệ thức Viet:
{x1+x2=4k+2k(2)x1x2=3k+3k(3)
Gọi A(x1;kx1−3k−1)⇒→MA=(x1−3;kx1−3k)
B(x2;kx2−3k−1)⇒→MB=(x2−3;kx2−3k)
Ta có MB=3MA⇔[→MB=3→MA→MB=−3→MA
Trường hợp 1: →MB=3→MA⇔x2−3=3(x1−3)⇔x2=3x1−6(4)
Từ (2) và (4) suy ra {x1+3x1−6=4k+2kx2=3x1−6⇔{x1=10k+24kx2=6k+64k
Thay vào (3), ta được
(10k+24k)(6k+64k)=3k+3k⇔12k2+24k+12=0⇔k=−1
Trường hợp 2: →MB=−3→MA⇔x2−3=−3(x1−3)⇔x2=−3x1+12(5)
Từ (2) và (5) suy ra {x1−3x1+12=4k+2kx2=−3x1+12⇔{x1=4k−1kx2=3k
Thay vào (3), ta được:
(4k−1k)(3k)=3k+3k⇔3k2−9k+3=0⇔[k=3+√52k=3−√52
Vậy tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D là
S=−1+3+√52+3−√52=2
