Tính giá trị nhỏ nhất của A = 1/a + 1/b + 1/c với a, b, c > 0

Đề bài: Tính giá trị nhỏ nhất của A = 1/a + 1/b + 1/c với a, b, c > 0 và a+b+c = 3abc

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Từ điều kiện  

$a+b+c=3abc\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a+b+c}$ (1)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM

$\begin{array}{l}{a}^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\ge abc\left(a+b+c\right)\\ \iff {\left(ab+bc+ac\right)}^2\ge 3abc\left(a+b+c\right)={\left(a+b+c\right)}^2\\ \iff ab+bc+ac\ge a+b+c\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow A\ge 3$

Do đó $A_{\min }=3\iff a=b=c=1$