Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AB = 10 và tan ( A + B) = 1/3

Trả lời

Lời giải

Tam giác ABC có: A + B + C = 180°.

⇒ C = 180° – (A + B).

⇒ tanC = –tan(A + B) = \( - \frac{1}{3}\).

Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}C}} = 1 + {\tan ^2}C\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}C = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}C}} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{10}}\).

\( \Rightarrow {\sin ^2}C = 1 - {\cos ^2}C = 1 - \frac{9}{{10}} = \frac{1}{{10}}\).

Vì 0° < C < 180° nên sinC > 0.

Do đó \(\sin C = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có: \(2R = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}} = 10\sqrt {10} \).

Vậy \(R = \frac{{10\sqrt {10} }}{2} = 5\sqrt {10} \).