Tìm x, y, z thuộc ℤ thỏa mãn: 3x^2 + 6y^2 + z^2 + 3y^2.z^2 − 18x = 6.

Trả lời

Lời giải

Ta có: 3x² + 6y² + z² + 3y².z² − 18x = 6 (1)

Û 3(x − 3)² + 6y² + z² + 3y².z² = 33 (2)

Þ z² ⋮ 3 và z² £ 33

Þ z² Î {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33}

Mà z Î ℤ nên z² = 0 và z² = 9

Suy ra z = 0 và |z| = 3

+) TH1: z = 0 Þ Phương trình (2) trở thành:

(2) Û 3(x − 3)² + 6y² = 33

Û (x − 3)² + 2y² = 11

Þ 2y² £ 11 Þ |y| £ 2.

+ Với y = 0 thì (x − 3)² = 11 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại)

+ Với |y| = 1 thì (x − 3)² = 9

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 3\\x - 3 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 0\end{array} \right.\)

+ Với |y| = 2 thì (x − 3)² = 3 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại).

+) TH2: |z| = 3 Þ Phương trình (2) trở thành:

(2) Û 3(x − 3)² + 33y² = 24

Û (x − 3)² + 11y² = 8

Þ 11y² £ 8 Þ y = 0

Với y = 0 thì (x − 3)² = 8 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại)

Vậy bộ nghiệm nguyên (x; y; z) của phương trình là: {(6; 1; 0), (0; 1; 0), (6; −1; 0), (0; −1; 0)}.