Tìm x, y, z thỏa mãn: x^2 + y^2 + 2z^2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0

Câu 36: Tìm x, y, z thỏa mãn:

x² + y² + 2z² + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0.

Trả lời

x² + y² + 2z² + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0

⇔ 2.(x² + y² + 2z² + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1) = 0

⇔ 2x² + 2y² + 4z² + 2xy + 4yz + 4zx + 2x + 2y + 2 = 0

⇔ (x² + 2xy + y²) + 4z.(x + y) + 4z² + (x² + 2x + 1) + (y² + 2y + 1) = 0

⇔ (x + y)² + 4z.(x + y) + 4z² + (x + 1)² + (y + 1)² = 0

⇔ (x + y + 2z)² + (x + 1)² + (y + 1)² = 0

Mà (x + y + 2z)² ≥ 0; (x + 1)² ≥ 0; (y + 1)² ≥ 0 nên suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}x+y+2z=0\\ x+1=0\\ y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=-\frac{x+y}{2}\\ x=-1\\ y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\\ z=1\end{array}\right.$

Vậy (x; y; z) = (−1; −1; 1) là nghiệm của phương trình.