Tìm x, y, z thỏa mãn rằng: x^2 + y^2 + 2z^2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0

Câu 14: Tìm x, y, z thỏa mãn rằng: x² + y² + 2z² + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0.

Trả lời

Ta có:

x2 + y2 + 2z2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0

⇔ 2(x2 + y2 + 2z2 + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1) = 0

⇔ 2x2 + 2y2 + 4z2 + 2xy + 4yz + 4zx + 2x + 2y + 2 = 0

⇔ (x2 + 2xy + y2) + 4z(x + y) + 4z2 + (x2 + 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) = 0

⇔ (x + y)2 + 4z(x + y) + 4z2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 = 0

⇔ (x + y + 2z)2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 = 0

Vì (x + y + 2z)2 ≥ 0 với mọi x, y, z

(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x

(y + 1)2 ≥ 0 với mọi y

Nên (x + y + 2z)2 + (x + 1)2 + (y + 1)2  ≥ 0 với mọi x, y, z

Suy ra $\{\begin{array}{c}x+y+2\text{z}=0\\ x+1=0\\ y+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\text{z}=-x-4\\ x=-1\\ y=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\text{z}=1\\ x=-1\\ y=-1\end{array}$

Vậy x = –1, y = –1, z = 1.