Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x^2 + 2xy + 7(x + y) + 2y^2 + 10 = 0

Đề bài: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: x² + 2xy + 7(x + y) + 2y² + 10 = 0

⟺ 4x² + 8xy + 28x + 28y + 8y² + 40 = 0

⟺ (4x² + 8xy + 28x + 28y + 4y² + 49) + 4y² - 9 = 0

⟺ (2x + 2y + 7)² + 4y² = 9                  (*)

Vì (2x + 2y + 7)² ≥ 0

Nên 4y² ≤ 9

Suy ra y² ≤ $\frac{9}{4}$

Mà y nguyên nên $y^2\in \left\{0;1\right\}$

Suy ra $y\in \left\{0;1;-1\right\}$

+) Với y = 0, thay vào (*) ta có (2x + 2.0 + 7)² + 4.0 = 9

Hay (2x + 7)²  = 9

Suy ra $\left[\begin{array}{l}2\text{x}+7=3\\ 2\text{x}+7=-3\end{array}\right.$ ⟹ $\left[\begin{array}{l}\text{x}=-2\\ \text{x}=-5\end{array}\right.$

+) Với y = 1, thay vào (*) ta có (2x + 2.1 + 7)² + 4.1² = 9

Hay (2x + 9)² = 5

Suy ra không tìm được x nguyên thỏa mãn.

+) Với y = –1, thay vào (*) ta có (2x – 2.1 + 7)² + 4. (–1)² = 9

Hay (2x + 5)² = 5

Suy ra không tìm được x nguyên thỏa mãn.

Vậy (x; y) = {(-2; 0); (-5; 0)}.