Tìm x, y > 0 thỏa mãn x^3 + y^3 = 3xy – 1

Câu 21: Tìm x, y > 0 thỏa mãn x³ + y³ = 3xy – 1.

Trả lời

x³ + y³ = 3xy – 1

⇔ x³ + y³ – 3xy + 1 = 0

⇔ (x+y)³ – 3xy(x+y) – 3xy + 1 = 0

⇔ (x+y+1)(x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy) = 0

Suy ra:

x + y + 1 = 0

x^2 + 2xy + y^2 - x - y + 1 - 3xy = 0

Vì x, y > 0 nên x + y + 1 > 0

Xét x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy = 0

⇔ 2 (x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy) = 0

⇔ (x – y)² + (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 0

⇔ (x – y)² + (x – 1)² + (y – 1)² = 0

Suy ra:

x - y = 0

x - 1 = 0

y - 1 = 0

hay x = y =1.

Vậy x = y = 1.