Tìm x ∈ ℚ để biểu thức | x + 5| + | x - 7| đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm x ∈ ℚ để biểu thức \(\left| {x + 5} \right| + \left| {x - 7} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
+ Nếu x < 5, ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12\)
Vì x < 5 ⟺ –2x > –10 nên –2x + 12 > 2.
Ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| > 2\)
+ Nếu 5 ≤ x ≤ 7, ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| = x - 5 - x + 7 = 2\)
+ Nếu x > 7, ta có: \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| = x - 5 + x - 7 = 2x - 12\)
Vì x > 7 ⟺ 2x > 14 nên 2x – 12 > 2
Do đó \(\left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right| \ge 2\) với mọi x.
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của |x – 5| + |x – 7| bằng 2 khi 5 ≤ x ≤ 7.
Vậy tập hợp các giá trị x cần tìm là X = {5 ≤ x ≤ 7| x ∈ ℚ}.