Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x^2 + 6y^2 + 2z^2 + 3.y^2.z^2 – 18x = 6

Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x² + 6y² + 2z² + 3y²z² – 18x = 6.

Trả lời

Ta có:

3x2 + 6y2 + 2z2 + 3y2z2 – 18x = 6

⇔ (3x2 – 18x + 27) + 6y2 + 2z2 + 3y2z2 = 6 + 27

⇔ 3(x – 3)2 + 6y2 + 2z2 + 3y2z2 = 33                                 (1)

Vì x, y, z nguyên nên z2 ⋮ 3 và 2z2 ≤ 33

Hay |z| ≤ 3

Mà z nguyên

Suy ra z = 0 hoặc z = 3

+) TH1: z = 0

(1) ⇔  3(x – 3)2 + 6y2 = 33       

⇔  (x – 3)2 + 2y2 = 11

Suy ra 2y2 ≤ 11

Do đó |y| ≤ 2

$\iff [\begin{array}{c}y=0\\ y=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}{\left(x-3\right)}^2=11\\ {\left(x-3\right)}^2+2=11\end{array}$

⇔  (x – 3)2  + 2 = 11 (vì x nguyên)

⇔  (x – 3)2  = 9 $\iff [\begin{array}{c}x-3=3\\ x-3=-3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=6\\ x=0\end{array}$

+) TH1: z = 3

(1) ⇔ 3(x – 3)2 + 6y2 + 2 . 32 + 3y2 . 32 = 33                    

⇔  3(x – 3)2 + 33y2 + 18 = 33

⇔  (x – 3)2 + 11y2 = 5

Suy ra 11y2 ≤ 5

Do đó y = 0

Khi đó  (x – 3)2  = 5 nên không tìm được giá trị x nguyên thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z) là: (0; 1; 0), (0; –1; 0), (6; 1; 0), (6; –1; 0).