Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 3x^2 + 6y^2 + 2z^2 + 3y^2z^2 − 18 = 6
Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
3x2 + 6y2 + 2z2 + 3y2z2 − 18 = 6
Lời giải
Ta có: 3x2 + 6y2 + 2z2 + 3y2z2 − 18 = 6 (1)
Û 3x2 + 6y2 + 2z2 + 3y2.z2 = 24 (2)
Þ z2 ⋮ 3 và 2z2 £ 24
Þ z2 Î {0; 3; 6; 9; 12}
Mà z Î ℤ nên z2 = 0 và z2 = 9
Suy ra z = 0 và |z| = 3
+) TH1: z = 0 Þ Phương trình (2) trở thành:
(2) Û 3x2 + 6y2 = 24
Û x2 + 2y2 = 8
Þ 2y2 £ 8 Þ |y| £ 2
+ Với y = 0 thì x2 = 8 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại)
+ Với |y| = 1 thì x2 = 6 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại)
+ Với |y| = 2 thì x = 0.
+) TH2: |z| = 3 Þ Phương trình (2) trở thành:
(2) Û 3x2 + 33y2 = 6
Û x2 + 11y2 = 2
Þ 11y2 £ 2 Þ y = 0.
Với y = 0 thì x2 = 2 nên x không có giá trị nguyên nào thỏa mãn (loại).
Vậy bộ nghiệm nguyên (x; y; z) của phương trình là: {(0; 2; 0), (0; −2; 0)}.