Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ điểm  $M\left(0;3\right)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  $y=x^3+3mx+1$ bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}.$

Ta có  $y\text{'}=3x^2+3m;y\text{'}=0\iff x^2=-m.$

Để hàm số có hai điểm cực trị  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt  $\iff m<0$. (*) 

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phần dư  $2mx+1$, nên đường thẳng  $\Delta :y=2mx+1$ chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán  $\iff d\left[M,\Delta \right]=\frac{2}{\sqrt{4m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\iff m^2=1\iff m=\pm 1$.

Đối chiếu điều kiện  $\left(*\right)$, ta chọn  $m=-1$ . Chọn B.